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Provando que retas paralelas se encontram no infinito

Autor: Pedro Almeida

Desde cedo aprendemos que retas paralelas são aquelas que não se encontram nunca. Bom, nunca é um exagero aqui – ao contrário do medo que os filósofos e matemáticos gregos alimentavam pelo infinito, com sua matemática baseada quase unicamente em geometria, a introdução da Análise Matemática moderna, logo depois da invenção do Cálculo Diferencial e Integral de Newton e Leibniz, fez com que esta abstração não numérica ganhasse destaque para resolver problemas bem terrenos.

Alguns de nós, mais tarde, descobrimos com deslumbre que sim, retas paralelas se encontram – no infinito, aliás. Bom, onde é o infinito? Só posso adiantar que o infinito não é um número, e sim uma abstração. Se tivermos certa quantidade sendo analisada em determinado problema, podemos assumir grosseiramente que o infinito é aquilo que é muito maior que qualquer destas quantidades. Isto nos permite calcular limites e obter resultados analíticos.

O meu interesse aqui é fazer uma demonstração geométrica não formal para provar que sim, retas paralelas encontram-se no infinito. Mas façamos pelo caminho inverso.

Comecemos com duas retas concorrentes, de equações explícitas f(x) e g(x). Pra quem não sabe, estas equações são descritas da seguinte forma:

Estas retas são necessariamente simétricas em relação ao eixo x, quer dizer, f(x) cruza o eixo y em y1 e g(x) cruza o eixo y em –y1. Elas também sempre se cruzam sobre eixo x, no ponto x1.

Sim, estas retas são concorrentes. Como podemos fazer para torna-las paralelas? Bom, simples: é só fazer x1 tender a infinito. Desta forma, podemos dizer que as retas paralelas são na verdade retas concorrentes que se cruzam no infinito. Isso pode ser facilmente feito progressivamente, para vários valores de x1, como fiz no gráfico abaixo:

Neste gráfico, eu fiz y­1 = 10 fixo, e fiz x1 ir aumentando até o infinito (i.e., a um número significativamente grande). As retas marrons se cruzam em x = 10. As azuis em x = 50. As laranjas em x = 200. As verdes em x = 800. E finalmente as vermelhas em x = infinito.

O que eu fiz aqui é basicamente um processo de limite: fiz o ponto x1 tender a infinito, verificando a inclinação das retas no processo. Esta inclinação decresce na medida em que fazemos x1 tender a infinito, como visto na figura.

Podemos demonstrar que as retas paralelas se tocam no infinito de forma mais formal – podemos encontrar a equação que determina a inclinação de uma reta genérica do tipo abaixo e verificar o que acontece quando x1 tende a infinito. Seja a reta y(x):

Sua inclinação (m) é dada pela tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x, ou seja:

onde alfa é o ângulo que a reta faz com o eixo x e dy/dx é a derivada da equação (ambos significam a mesma coisa – a derivada é a taxa de variação da reta, que neste caso é uma constante: m = tan α).

Quando uma reta é paralela ao eixo x, i.e., é paralela a outra reta que também é paralela ao eixo x, de equação similar, mas simétrica a este eixo (como f(x) e g(x) são), sua tangente tende a zero, pois o ângulo com o eixo passa a ser 180 graus (ou zero graus). Tangente de 180 graus é zero – lembre-se o círculo trigonométrico!

Desta forma, quando x1 tender a infinito, m tenderá a zero. Formalmente:

independente do valor de a. Isto porque qualquer número dividido por um numero extremamente grande retorna um resultado muito pequeno. Se este número for tão grande quanto se queira, a divisão retorna um resultado nulo – zero.

Sabemos que o ângulo que produz uma tangente zero é 180 (ou zero, ou um múltiplo par de 180 graus). Ou seja, quando o ponto de intersecção x1 tende a infinito, as retas tendem a se tornarem paralelas ao eixo x (e uma a outra).

Portanto, as retas paralelas são aquelas que se encontram no infinito.

quod erat demonstrandum

84 comentrios

  1. Will says:

    Cara, esse negócio de retas paralelas se encontrarem no infinito sempre me pareceu tão “misterioso”, quase um dogma de fé kkk.

    Mas esse post abriu meus olhos. Vou comentar com alguns amigos.
    Ótima postagem e ótmo blog.

  2. Mariana Souto says:

    Nossa cara, muito interessante!!!!!

  3. RodrigoAmaral666 says:

    Esse post inteiro não faz o menor sentido.

    Definição:
    Se r e s são retas;
    Se r e s pertencem a um plano alfa;
    Se r intersecção com s = {};
    Então, diz-se que r e s são retas paralelas.

    Ou seja, por definição, é impossível que duas retas paralelas “se encontrem no infinito” (a.k.a. tenham ponto em comum). O máximo que você poderia tentar fazer é provar que não existem retas paralelas, ie, que todas as retas se cruzam.

    Você não poderá fazer isso na Geometria EuclidIana, devido ao seu famoso postulado das paralelas:
    “Dada uma reta, e um ponto fora dela, existe unicamente uma outra reta paralela à primeira, passando por esse ponto.”

  4. Pedro Almeida says:

    rodrigo amaral

    vc nunca estudou calculo infinitesimal (diferencial) ou conhece processos de limite?

    dizemos q sim, as retas se tocam no caso limite do infinito.
    infinito n eh um numero.

  5. RodrigoAmaral666 says:

    “vc nunca estudou calculo infinitesimal (diferencial) ou conhece processos de limite?”

    Sim. Você disse que as retas se tocam no infinito.
    “Se tocar” não é um conceito matemático, e eu imagino que você se refere à intersecção de retas.

    Mesmo pelo processo que você mostrou acima, não existe sequer um ponto em que retas paralelas se cruzem, isso é, que tenham intersecção. Vale lembrar que, dado um ponto P num plano, TODOS os demais pontos desse plano estão a uma distância FINITA de P.

    O seu esquema só mostra que, a medida que afastamos o vértice desse triângulo isósceles, da base, os ângulos da base ficam cada vez mais próximos de 90º, SEM JAMAIS atingir esse valor.

    Se o uso de limites de funções pudesse provar sua asserção, então poderia provar justamente a minha! Considere a função f(x)=10. O gráfico dessa função é uma reta e ela é paralela à reta g(x)=0. Note que lim[x→∞] f(x) = 10 e lim[x→∞] g(x) = 0 e, portanto, duas retas paralelas NÃO se cruzam no infinito.

  6. Pedro Almeida says:

    vc acabou de me mostrar q nao conhece o q eh a aplicação de um processo de limite então.

    vc parte de uma função q nao é variável de x e diz q o limite converge para ela mesma.

    deveria saber q o processo envolve investigar a singularidade do ponto de interesse.

    processos como o q eu apliquei sao usados na deducao de derivadas e integrais, o seu é usado para demonstrar q vc nao sabe limite.

    eh igual dizer lim [x->5] 5/x = 1.
    nao eh um processo – é uma substituicao do valor.

  7. Pedro Almeida says:

    processos como o q eu usei sao similares ao de calculo de comprimentos de arcos e de cuvas, de convergencias de séries infinitas, de investigação do sentido de rotação de diagramas polares…

  8. Oi Pedro,

    Parabéns por ter te arriscado por essas águas turbulentas do raciocínio matemático. No entanto eu preciso discordar da tua conclusão. A demonstração que tu deu só mostra que é possível definir duas retas como paralelas tomando-se o limite quando o ponto de intersecção delas tende ao infinito. Até aí tudo bem. Mas não tem sentido a conclusão que as retas então ‘se encontram no infinito’ pois onde fica esse infinito? Você mesmo disse, com razão, que o infinito não é um ponto, e nem mesmo uma região. Portanto não faz sentido falar do infinito como se fosse um lugar específico onde as retas se encontrariam.

    Essa definição de retas paralelas baseada no limite é simplesmente uma ferramenta pra ajudar na visualização do conceito de retas paralelas. Mas você nunca pode afirmar que essas retas são de fato paralelas. Elas ‘tendem’ a ser paralelas. Na geometria euclidiana, de acordo com o quinto axioma de Euclides, duas retas paralelas não tem ponto de intersecção. Portanto retas paralelas não se encontram em lugar nenhum.

  9. Pedro Almeida says:

    sim luzardo

    grato pelo preciosismo.

    o termo “encontram-se no infinito” é cunhado usando a abstração comum de infinito – assume-se q é um “lugar” existente, e partir daí é possível trabalhar com os conceitos e produzir resultados.

  10. Na matemática é necessário ter esse cuidado meio pedantico com os termos que usamos. É claro que em engenharia por exemplo não faz muita diferença se o ângulo entre duas retas é 90 graus ou 89.999999999. Mas para provar teoremas aí coisas assim fazem muita diferença; é necessário ser exato.

    Se você assumir que o infinito é um ‘lugar’ você cai em todo tipo de paradoxo e contradição. Eu não estou ciente de nenhuma interpretação matemática em análise real que faça essa suposição. É possível provar todas as bases do cálculo rigorosamente usando limites, desde que se tome o cuidado necessário.

    Aliás, a título de curiosidade, você já viu em outro lugar essa afirmação de que retas paralelas se encontram no infinito? Espero que não tenha sido em um livro de matemática pura!

  11. Pedro Almeida says:

    luzardo

    sim, eu sei q provas sao rigorosas.

    por isso q eu fiz questao de deixar claro q nao é uma prova formal, o q eu fiz.
    eh uma prova geometrica, bem específica e feita por aproximacao, similar ao processo de exaustão utilizado por arquimedes.

    quanto ao termo, sim já vi em diversos lugares – é um termo coloquial, ja ouvi mt gnt falando de q retas paralelas se tocam no infinito e ja vi em blogs, etc.

    so procurar no google q vc acha.

    claro, como vc disse, nao é matematicamente preciso – é so para dar a ideia.

  12. RodrigoAmaral666 says:

    Pedro, o que, para você, significa dizer que “retas paralelas se encontram no infinito”?

  13. Pedro Almeida says:

    foi só uma expressão simplista e que chama atenção rodrigo. em momento algum disse q ela tinha era matematicamente precisa.

    eu ja expliquei o q significa.

  14. Léo says:

    Pessoas, a matemática trabalha com ideias. Se vc não define o q significa o ponto no infinito, estar no infinito, etc, não há como concluir nada sobre isso.

    A demonstração feita mostra q retas concorrentes em q o ponto de intersecção TENDE ao infinito, tornam-se paralelas, no sentido euclidiano da palavra. Ela não prova o contrário: retas que se encontram no infinito são paralelas. Também não demonstra o caso geral: TODAS as retas paralelas se encontram no infinito, mas o argumento pode ser generalizado.

    Porém, o conceito “TENDE A INFINITO” está bem definido pelo conceito de limite. Mas o conceito “ESTAR NO INFINITO” não está definido neste contexto. Isto não quer dizer q este conceito está errado ou não faz sentido. Existem extensões da reta e do espaço para incluir pontos no infinito, como a esfera de Riemmann:

    http://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera_de_Riemann

    E nestes contextos a afirmação é verdadeira!

    Espero ter contribuído! Um abraço!

  15. Luciano says:

    Gente a grande diferença é que se estamos em espaços euclidianos isso é tomado como “AXIOMA” ou seja irrefundável. Mas a analise moderna conseque provar tambem que por um ponto não passa uma unica reta paralela a uma reta dada. Ou seja as demonstrações estão se referindo a analise real e os pontos do TENDE AO INFINITO não são acumulados pois não há uma determinação numerica para o infinito!!!!! por isso o espaço euclidiano não introduz o infinito e por isso as retas paralelas não se cruzam nunca.

    alias os conceitos de limite possuem erros pois são aproximações!!!

    mas mesmo assim que for euclidiano vai discordar e quem for da análise vai concordar
    e parabens pela demonstração!!!!!!

  16. Luli says:

    Bom penso o seguinte, o infinito está ali logo além de onde os olhos podem ver. Então as retas paralelas se encontram ali nesse ponto de perspectiva “ótica” uma ilusão de ótica. Então q se prove q as retas se encontram no infinito q é onde a vista alcança! Duas retas podem se encontrar lá longe, numa perspectiva inimaginada hj pq a vista não alcança lá o infinito, então como o infinito não tem fim, sempre é possível buscá-lo no encontro das retas paralelas.

  17. Gosto do comentário da Luli, a nossa visão da conta de encontrar as paralelas no infinito. Não precisamos de muita discussão teórica para visualizar a teoria. Para o observador, as retas paralelas se encontram no infinito, sempre. Por que as coisas parecem menores à medida que nos distanciamos? Isso pode mostrar que os axiomas euclidianos distorcem a visualidade do mundo? A geometria pertence ao plano físico ou metafísico?

  18. Victor says:

    Se você diz isso, quer dizer que a Tg90º tbm existe?

  19. Erly says:

    Bem sofismática este encontro no infinito. Compreendo que por questões de limite se considere que um valor extremamente grande tenda a infinito e, por tanto, seja considerado como tal, mas isto são questões da prática e do real e não da abstração que é a lógica formal.
    Se encontrar no infinito é não se encontrar nunca porque algo infinitamente distante é algo, sempre, infinitamente distante de ser alcançado. Isto é o óbvio, por definição.
    É fácil achar uma prova matemática disso (não no sentido de uma prova matemática como tal, mas no de demonstração), tome duas equações de reta na geometria analítica e ache a interseção de duas equações paralelas. Quem achar algo diferente de vazio é muito espertalhão.
    Esse papo de geometria não Euclidiana, bom, há a topologia e tal, mas a topologia não conhece as mesmas formas geométricas, tão pouco poderia contar com uma forma de uma única dimensão.
    Entortar o plano não vale, porque daí vc transforma retas em curvas e, francamente, não se pode falar de curvas paralelas.
    O único lugar onde paralelas se encontram, aí sim, é em seu inesgotável desejo de se encontrar. Nem que seja no infinito.

  20. Billy2502 says:

    Olha, eu não sei nada de Matemática, mas o que aprendi, foi que as retas paralelas em um lugar geométrico plano não se cruzam, pois elas não possuem um ponto em comum e sempre mantém a mesma distância entre si. Só se você pegasse uma das retas paralelas e as entortasse 0,00000000000001 milímetro, mas então não seriam mais retas paralelas.

  21. lucas says:

    bem , a geometria euclideana mostra que as paralelas nao se encontram no infinito mas em outras geometrias é possivel observar teorias plausiveis sobre isto . a fisica por exemplo considera o encontro de paralelas no infinito assim como a divisao por 0 entre outras coisas e até mesmo na matematica vi um exemplo bem convincente em que pra achar a equaçao fundamental de uma reta perpendicular ao eixo x temos que considerar que a tg 90 é infinito pois a tg 90 segue a reta tangente a circunferencia de raio 1 até o infinito e apos isso fazemos a divisao 1/tg90 em que temos que considerar que o quociente de 0 pois a equaçao seria x=n

  22. lucas says:

    este objeto a baixo é a trombeta de toricceli um dos mais brilhantes matematicos ja conhecido ela é por definiçao um objeto que possui um volume que tende ao infinito

  23. Lucas A. says:

    Que palhaçada é essa?
    Não tem capacidade de perceber que você calculou o limite de algo, isto é, este algo nunca ultrapassará este limite e nunca será igual a ele. Ou seja, o limite destas retas é cruzarem-se; então elas nunca se cruzam, uma vez que não ultrapassam o cruzamento; elas tendem a cruzarem-se, o que não implica que cruzam-se.
    Assim como: se você tem algo e retira metade, depois retira metade do que sobrou, retira novamente metade do que sobrou; se calcular o limite de quanto restará, você terá como resultado zero, porém observe que se você tem como resto zero, isto significa que vc não tirou nada desde a primeira vez; ou seja você se aproxima do zero mais nunca chega nele.

  24. Ziiuhejsu, suyeis. Da Uni02293 says:

    Não existe o infinito, ele toca sim em um ponto onde um universo acaba e outro começa. se você traçar uma linha reta e continuar sem parar, o que acontece??? você da a volta no mundo até encontrar com a linha reta novamente e mesmo queeee. esta reta for traçada na velocidade da luz, o tempo em que o FIM da reta se encontrar até o COMEÇO da reta, já vai ser outro. ou seja, quando conseguimos encontra a velocidade do Zero Circular Absoluto é quando vocês vão perceber que a velocidade da reta entre o começo e o fim não GIRA e continua constante, provando assim que a energia que traça a nossa existência 3D é circular na velocidade do zero absoluto.

  25. Igor says:

    Isso só seria possível baseado na teoria da relatividade que diz que os corpos provocam um deformação no espaço promovendo por alguma razão que a propria teoria não sabe explicar o que é desvios de outros corpos . No caso das suas retas a deformação de espaço de cada reta desviaria em curvatura parabólica ambas as retas para um vértice em comum sendo que uma desviaria a outra e promovendo no final das contas uma junção permanente das duas retas baseando na teoria de que esse desvio seria uniforme e constante por parte das duas retas .
    Entretanto como essa propriedade é inerente a massa dos corpos, dependo do que seria estas tuas retas, o que deveria ser classificado como infinito seria o tempo que elas levariam para se cruzarem no caso de serem alguma coisa com pouca capacidade de deformação de espaço .
    Acredito que estas deformaçoes no espaço sejam dimensionais e baseiam-se, pelo menos em ideologia, na teoria das super cordas …
    Quando me refiro a “corpo” na verdade eu me refiro a qualquer coisa com massa já que segundo a teoria energia tbm tem massa.
    Mesmo se tuas retas forem uma abstrações elas ja pertencem a essa propriedade já que vc “pensou” para elaborar esse argumento e teu pensamento é energia .Então nesse caso teria que se calcular a massa da energia gerada na sua frequência consciente de visualização mental das retas para se calcular a capacidade de deformação espacial entre elas e comprimento de paralelismo entre elas poderia ser calculado através de uma frequência mental que pertence ao mesmo pensamento porém é uma frequência intermediária entre a(s) de cada reta . (poderia ser uma onda quadrada talvez ou senoidal, ambas usada em frequências de clock o que faria muito sentido já que há uma analogia entre processamento cerebral e processamento em circuitos eletrônicos .

  26. Igor says:

    Por outro lado não faz sentido retas paralelas se cruzarem pois se cruzarem deixariam de ser paralelas e passariam a ser concorrentes … Então mesmo que se cruzassem no infinito no momento em que se cruzassem não seriam paralelas mas sim concorrentes (o paralelismo é uma questão de geometria analítica) …

  27. sara luana rodrigues says:

    nossa isso e dificil

  28. Angela says:

    Contando que: infinito não é um numero por tanto isso não prova nada!
    Mas é interessante o raciocinio… AI nerds no entando não adianta discutir, cada um já tem opniao formada aqui pelo q leiio

  29. Azald says:

    Imaginem um trilho de trem, situe-se entre estes trilhos e imaginem que este trilho seja infinito, olhe para ele até onde consegue enxergar, lá é o infinito e é lá onde estas retas paralelas se encontram .

  30. Edson Vinicius says:

    Eu acho que esse cara viajou legal!!!!!!!.. deveria ter um título assim.. “RETAS CONCORRENTES QUE TENDEM A SER PARALELAS QUANDO O PONTO DE INTERSEÇÃO ENTRE AS DUAS TENDE A UM VALOR INFINITO…”

  31. buzuflu says:

    Alguem me ajuda? Olha a minha prof de Mat pediu pra mim fazer 10 retas em 36 pontos, voltando onde vc começou, sem tirar o lapis do papel, mas todo mundo da minha familia tento e ngm consiguiiiiu e é pra amanhã isso algm me ajuda? vo tenta faze um desenho
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    . . . . . . eh isso q eu tenho q faze tipo eu tenho q forma 10 retas retas eh isso _________________ ou isso
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    ou / ou assim \
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    entenderam? se siiim me ajudemm

  32. Charley says:

    Bom, há algum tempo, quando estava ainda no segundo período de Engenharia Mecânica, bolei um esquema para tentar provar justamente isto: duas retas “paralelas” se encontram no infinito.

    O interessante é que eu não tentei nada com equações de retas, mas pensei antes numa elipse (nem eu sei o porquê), cuja equação é dada por:

    x²/a² + y²/b² = 1

    onde “a” é a hipotenusa entre os catetos “b” e “c”, onde c é a distância entre o foco e o centro e “b” o vértice sobre “y”.

    Tratando a equação da elipse como função, na verdade teremos 2 funções, uma para valores positivos de “y” e outra para valores negativos. Mas como a demonstração a seguir é algébrica e não numérica, a princípio isso não faz diferença, aplicaremos este conceito no final. Vejamos:

    1) x²/a² + y²/b² = 1;

    Imagine esta elipse com o vértice “a” tendendo ao infinito, ou seja, “estique” esta elipse sobre o eixo “x” até o infinito, mantendo a mesma medida do vértice “b”. Quem tem um bom raciocínio notará que esta elipse se aproximará muito de duas retas paralelas, uma em y=b e outra em y=-b (note aí um valor positivo para “y” e outro negativo).

    Agora vamos tentar provar algebricamente:

    Fazendo “a” tendendo a infinito, temos:

    x²/a² + y²/b² = 1

    lim y
    a→∞

    0 + y²/b² = 1

    y² = 1 * b²

    y = ± √b²

    y = ± b

    Ou seja, uma elipse com o vértice sobre “x” “esticada” até o infinito se transforma em duas retas paralelas que passam por “b” e “-b”, mas não deixam de ser uma elipse, logo, elas se encontrarão em algum ponto em +∞ e outro ponto em -∞.

    Valeu!!!

  33. Gustavo says:

    Aos senhores de curta inteligencia que ainda não concordam com o topico.
    Imaginem uma estrada qualquer, imaginem as laterais dessa estrada (meio-fio) como se fossem paralelas perfeitas durante toda a extensão da estrada.
    O.K. agora qdo dirigimos por um trecho dessa estrada muito longo em linha reta, sempre em linha reta, e sua visão a frente sera reta por muitos km ainda. nesse momento olhamos para frente, para o infinito (que existe.) e temos a ‘ilusão’ de q as laterais vão se aproximando até…. se encotrarem no infinito
    Esse é um exemplo visual q confirma toda a matematica (avançada demais para alguns)

  34. Charley says:

    Tem gente levando este tópico para um outro sentido.

    Qualquer um que tenha estudado suficientemente matemática sabe que, segundo a geometria euclidiana, duas retas paralelas não se encontram nunca. Mas euclides baseava-se em conceitos, e segundo estes conceitos, isso é realmente impossível.

    A proposta do tópico é promover um “e se…”, onde nós, pobres aficionados pela matemática tentamos criar situações para tal.

    É sabido que, embora os conceitos de Euclides sejam muito úteis na teoria, não são muito realistas no mundo físico – quem estuda engenharia como eu, por exemplo, sabe muito bem do que estou falando.

    No mundo físico não existe paralelismo, concentricidade, medidas exatas em geral só existem no papel. Na prática elas só precisam estar dentro de uma tolerância aceitável…

  35. não esquenta qual e meu nome says:

    seus fdp são tudo burro

  36. Euclides says:

    Deve-se abstrair; extrapolar os paradigmas euclidianos. A geometria euclidiana limita-se a um universo finito. Dentro desse universo finito, retas são retas e jamais se encontram. A geometria euclidiana é excelente na aplicação de cálculos para grandezas finitas, mas o artigo trata justamente do oposto.
    Discordo quando afirmam que o infinito não é um ponto. Infinito é um conceito adimensional, assim como o ponto. O ponto é adimensional. O infinito é igualmente adimensional. Não há como medir o adimensional. Abstraindo-se a nível de infinito, não existem retas infinitas, pois tudo converge em um ponto e o ponto é infinitesimal e, sendo assim, é adimensional, ou seja, imensurável. Seguindo esta linha de raciocínio, pontos formam a reta; retas formam o plano; planos formam o paralelepípedo; o paralelepípedo é formado de outros paralelepípedos e o conjunto todo é um ponto, o que torna a reta parte de uma circunferência, isto é, uma reta também é uma curva e a curva é parte da circunferência, que forma o ponto, é parte do mesmo e é o próprio. O ponto é a origem e o fim ao mesmo tempo – o alfa e o ômega –, ou seja, um ciclo; uma espiral infinita; o infinito. No universo real, empírico, tudo é espiral, do micro ao macro. Portanto, retas paralelas encontram-se no infinito.
    Abstraindo-se em um nível ainda mais profundo e filosófico (por que não? Afinal, matemática é filosofia), Deus é o ponto. O ponto é extrafísico. O Universo físico é oriundo do extrafísico e a ele se mantém em uma harmônica, sutil e intrínseca ligação. A origem do bóson de higgs.

  37. Mdx says:

    Ahem, a discussão poderia ser interessante se você fosse mais humilde (li seus primeiros comentários e bem…)

    Rigorosidade. Você mostrou que retas concorrentes que tendem a retas paralelas ainda “se tocam” (tem um ponto em comum, x aonde a distância =0) no infinito.

    Agora, se você ainda tem um ponto de dúvida do que estou falando, prove que F(x) =10 encontra G(x)=-10, em qualquer x. Verifique que são paralelas. Demonstre pra qualquer reta paralela.

    QED

  38. Francis says:

    Paralelas não se encontram, nunca…ou não são paralelas…simples assim.

  39. Durval Agnelo says:

    “Isto porque qualquer número dividido por um numero extremamente grande retorna um resultado muito pequeno. Se este número for tão grande quanto se queira, a divisão retorna um resultado nulo – zero”

    Humildemente discordo dessa afirmação !!

    A divisão retorna um resultado infinitesimal, porém nunca será nulo.
    Para retornar nulo, precisaria-se de um conjunto definido, um gradiente definido.

    Contudo, isso invalidaria a abstração de infinito, ao menos que, claro, o observador crie contextos especiais para isso, partindo de alguns postulados, hipóteses e afins. Por exemplo, na física !!

    Em outras palavras, minha conclusão particular é que genericamente, duas retas paralelas nunca se tocam fundamentalmente, assim como não se tornam perpendiculares no (infinito * 1,5)

  40. hagnat says:

    se as retas se encontram, não são paralelas…
    simples assim

  41. Le EU says:

    Ai, que gente burra.
    As retas paralelas se encontram no infinito porque lá a gravidade é diferente IIRIARIARIAIRIARIAIRIARIAIRAIRIAIRIA BRASIL!

  42. Juliana Vieira says:

    Oras Gustavo…o que tem a ver ilusão de óptica com matemática pura??

  43. Berna says:

    Com esse esquema você provou que dada 2 funções não paralela e que almentão sua angulação de forma igual para mesma variação de x tendem a ser paralela no infinito. Assim elas TENDEM a ser paralelas porém NUnca chegam a ser realmente paralelas.

  44. Victor says:

    Nossa… que merda.

    Como se alguém estudar calculo diferencial fosse confirmar que isso está certo.

    A definição de retas paralelas inclui essencialmente o fato delas não se encontrarem.

    Na verdade, usar esse limite pra dizer que as retas “se encontram no infinito” é a confirmação definitiva que você estudou cálculo e não entende nada de análise, que é o assunto principal.

  45. Victor says:

    Análise real claro, que vai interferir na nossa geometria analítica euclidiana (na qual você fez sua demonstração)

    mas duvido que a sua intenção tenha sido trabalhar em geometrias hiperbólicas etc.

  46. Lucas says:

    “Mas façamos pelo caminho inverso.”

    “Portanto, as retas paralelas são aquelas que se encontram no infinito.”

    Seu artigo não conclui que retas paralelas se encontram no infinito.
    Nem tudo o que você faz pelo caminho inverso, dará certo pelo caminho normal.
    O que você mostra é que, retas concorrentes tendendo ao infinito tendem a ser paralelas em pontos muito distantes, mas não são.

  47. Neto says:

    Onde fica o infinito kkkkkkkkk pq elas se encontrarem lá?
    kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk se você me falar onde fica o infinito eu concordo com você pedro kkkkk

  48. oliveira says:

    vc esta em uma estrada reta, quando olha la no final do horizonte vê que elas se encontram, ali é a outra dimensão

  49. rodnei says:

    Gente, nessa deficnição, ou nessas definições, a matemática eh a mais exata das ciencias, mas nao eh totalmente exata. uma reta nunca será reta. tente fazer uma reta numa folha de papel, e veja se ela realmente eh perfeitamente reta? agora tente traçar outra paralela a essa reta e veja se ela eh perfeitamente reta, e veja se ela eh perfeitamente paralela à outra.
    concluímos que o mundo é abstrato, entao nessa abstração, as retas se cruzam, em algum lugar do infinito, pois o infinito tem vários ‘lugares’

  50. Carlos says:

    Este raciocíonio me parece errado, elas não se cruzarão no infinito. Porém se estas retas estiverem em uma esfera elas se tocarão.

  51. Arthur says:

    Se chama triângulo birretângulo, na Física 4, de ondas, pode-se ver e é provado que é possível duas retas paralelas se encontrarem, e se encontram…

  52. caio says:

    nao gostei

  53. Pedro says:

    è paia gente confundindo ilusão de ótica com realidade, eu não entendo porra nenhuma desses cálculos ai, mas acho que entendi a idéia de alguns comentários. As retas não se encontram, e esse lugar em que as laterais de uma estrada “parecem” encontrar não é o infinito, isso é apenas uma limitação do seu corpo, da sua visão. O cara que exemplificou melhor foi o que falou das “metades” se vc retira a metade de algo, depois tira outra metade e depois outra metade e por ai vai, sempre vai haver uma metade a mais que na verdade se torna um inteiro, voce está tendendo ela a zero, ou seja a reduzir ela ao nada, mas se vc tirou apenas a metade, sempre sobrará outra metade. E Rodnei, retas perfeitamente retas existem e voce consegue fazê-las no paint do seu computador. observe as retas da caixa de testo onde vc digita os comentários.

  54. anônimo says:

    isso só acontece se as linhasforem matéria e sofrere a intervenção de um fenomeno fí-
    sico como a gravidade q de acordo com einsten ela no tecido do tempo e espaço é tipo uma depressão.
    OBS:as linhas só são paralelas se tiverem um ângulo totalmente igual cada atomosinho.
    pois se não nao nao sâo paralelas e se encontram

  55. Rogério says:

    Matematicamente falando, retas paralelas, na geometria Euclidiana, não se encontram nunca. Em outras geometrias isso pode acontecer, ou não. Dai tem que especificar de qual geometria se esta falando

  56. Vinícius Batista Andriolli says:

    Através disso pode se dizer que tangente de 90º existe já que são paralelas.Correto?

  57. Raul says:

    Acho que meus olhos derreteram com isso?

    Acho uma boa ideia excluir essa baboseira…

  58. Raul says:

    *Não foi uma pergunta

  59. Anderson Corrêa says:

    As duas retas vão se encontrar quando essa discussão chegar ao fim, pois essa discussão é infinita kkkk. Afinal trata-se de um paradoxo. Assumindo que o infinito seja um ponto, lá as retas se encontrariam. Mas não se pode sair do campo abstrato pois o infinito não é de fato um ponto. O encontro das duas retas parece possível mas não é observável, assim como a partícula/onda da física quântica.

  60. Anderson Corrêa says:

    Detalhe, segundo Poincaré as retas são segmentos de semi círculos, o que tornaria possível o encontro ou afastamento de duas retas paralelas. A teoria euclidiana da existência de uma única paralela foi a mais importante até o século XIX, quando emergiram abordagens elípticas capazes de satisfazer melhor a nossa até então incapacidade de lidar com o infinito.

  61. Há um erro é conceitual. Quando X “tende” para infinito o ângulo entre as retas “tende” a zero e elas “tendem” a ser paralelas. Mas X nunca será “igual” a infinito e nem o ângulo nunca será “igual” a zero e nem as retas serão “paralelas”. Elas sempre serão concorrentes. Limite não é uma igualdade. Tanto é que não se escreve que x = ∞ e, sim, x → ∞. Diz-se que um limite de uma função seja igual a certo valor quando o valor da função tende para ele quando seu argumento tende para o ponto onde se está calculando o limite. Mas o valor da função não é igual ao limite, a não ser que a função seja contínua no ponto. Quando se calcula o limite para argumentos que tendem a infinito, então o valor não é igual mesmo. Além do mais, dizer que o ponto de intercessão se afasta infinitamente até que o ângulo entre as retas tenda para zero significaria que, quando o ângulo for, de fato, zero, o ponto de intercessão deixaria de existir, já que dizer que está localizado a uma distância infinita significa dizer que não está em lugar nenhum, pois infinito não é, absolutamente, um lugar.

  62. Mauro M Silva says:

    Nao vou entrar no merito geometrico da questao e sim dizer que essa teoria e’ totalmente infundada pela simples logica de que se uma reta paralela tende a se encontrar com outra no infinito ela ja nao e’ paralela. Tao logico que dispensa qualquer conceito ou formulas matematicas

  63. :) says:

    Quer dizer que retas paralelas não se encontram? Elas se perdem no infinito?

  64. danillo says:

    Bom, atualmente eu estou elaborando uma hipótese envolvendo o tempo de encontro entre duas paralelas com base na velocidade da movimentação do mesmo corpo, na qual reflete ao mesmo, a mesma velocidade sobre o espaço. Talvez eu consiga utilizar o infinito como um conjunto para assim, poder envolver valor PI sobre instante de uma maneira satisfatória. Mas teoricamente, eu suponho que duas paralelas nunca serão exatas , portanto, elas irão se tangenciar. E meu Objetivo é calcular o tempo de encontro entre duas paralelas com base
    na velocidade dos corpos, inclinação das próprias , e utilização do próprio infinito(conjunto) como referência.Pode parecer até estranho pela forma como eu estou comentando, mas acho que seria sim, possível.

  65. Goretti Nunes says:

    Simplificando:
    Elas se encontrarem por meio de um jogo de perspectiva, dependendo do ponto de onde são observadas, convergem para o ponto de fuga.
    Complicando:
    Equações…

  66. sloap says:

    porém essa sua explicação só abrange seguramente (não tão seguro assim), a matemática literal, vc desconsiderou o principio das cordas de hawkins, pois uma vez que a malha universal é feito de cordas infinitamente pequenas, o fato de duas dessas cordas convergirem em um ponto nega a infinitude do universo em uma das 4 dimensoes , fazendo o nao mais infinito em todas as dimensoes, e repare eu disse 4 dimensoes o que representa a alocalidade do infinito como vc mesmo disse, porém se considerarmos o q vc disse como só nos resta duas opções óbvias: 1- hawkins e os relativos estão errados e na verdade o universo é um espação 3d grande pacaralho porém finito ou 2- vc tá errado mano, sinto muito, o que vc diz mata a fisic moderna , porém como eu disse no inicio é válido de um ponto de vista puramente matemático-literal.

  67. Carlos says:

    A falácia está em considerar o limite como o resultado de uma equação. Ele não necessariamente o é por definição. O infinito é empregado para descrever o comportamento dessas retas enquanto elas progridem infinitamente mais próximas uma da outra. Acontece que é isso que elas farão, infinitamente. Progredirão, sem nunca tocar-se. A função de limite não é contínua por definição. Pode-se dizer que ela não tem limite.

  68. Marcelo says:

    As retas por serem paralelas nao tem como tocar uma na outra isso e logica.E reta nao sofre deformacao se nao,nao e reta.Se nao o polo norte tocava no polo sul.Por isso existem dois polos.Que representa 2retas paralelas tai chupa essa manga.kkkkk

  69. Janaina says:

    Gente porque tanta complicação???!!
    Duas retas paralelas não se encontram nunca no infinito!!!!!!!!!! Se não não seriam paralelas! a não ser visualmente à partir do nosso olhar perspectivo, e da filosofia.
    Fora isso não é preciso nem de cálculos para chegar a essa conclusão!
    ACORDA BRASIL!!!

  70. Matheus Assunção Monteiro Ferreira. says:

    Santarém/PA, 27 de setembro de 2014.
    Sr. Almeida,
    O que, de fato, sua “demonstração” prova é que, se os respectivos ângulos de inclinação de duas retas distintas (pois, se as retas aqui citadas forem coincidentes, então os referidos ângulos de inclinação já têm o mesmo valor) tendem ao mesmo valor, então tais retas tendem a ser paralelas uma em relação à outra. O Sr. se utilizou do conceito de Limite, até então, sem problemas; mas, veja bem, ao concluir que retas paralelas distintas intersectam-se, encontram-se, enfim, “no” infinito, o Sr. próprio, suponho, autor desta inovadora conjectura, nada mais faz além de negar um axioma, fugindo da própria definição de retas paralelas: duas retas (distintas) são paralelas entre si se, e somente se, a intersecção entre tais retas corresponde a, e a nada mais do que a, um conjunto vazio.
    Então, perdoe-me, mas o Sr. Almeida não foi nada convincente, e seus argumentos falharam quanto à sua própria “demonstração”. Como já foi dito, aqui, tome um número “k” qualquer (e não nulo), encontre e demonstre a localização, no Plano Cartesiano, do par ordenado que corresponde à intersecção das retas de equações “y = k” e “y = -k”. Se isto não for possível, então, mais uma vez, peço perdão, todavia o Sr. encontra-se completamente equivocado.
    Atenciosamente,
    Sr. Ferreira.

  71. Vilson Russi says:

    Excelente demonstração matemática, parabéns pelo trabalho.

  72. Ulysses Alves says:

    Qual a aplicação prática disso? Ou é simplesmente mais uma daquelas coisas que a gente aprende na escola para NUNCA usar na vida?

  73. Andre says:

    Pessoas vamos pensar fora da caixinha vai, essa definicao que eu vi varias pessoas colocando ” Retas paralelas nao se encontram pois essa e a definicao dela” Nao o bando de animais isso e so na geometria Eclesiana que e uma geometria limitada onde o quinto postulado nao possue nem prova de que e real
    Na Geometria Hiperbolica que e uma geometria criada para avancar a limitacoes da geometria eclesiana Duas Paralelas se encontram sim e elas sao chamadas de Hiper Paralelas
    Entao por favor segurem a sua ignorancia para nao parerecem idiotas na frente de todos.
    E Ulysses Alves, se voce acha que as coisas que voce aprende na escola sao inuteis voce e realmente burro porque mesmo que voce nao va aplicar o conteudo em situacoes da sua vida ele esta sendo usado pra fazer seu cerebro mais capaz para resolver problemas no futuro, sejam eles quais forem
    E mesmo eu nao concordando com a “Prova” de que as retas paralelas se encontram no infinito, Eu ainda acho que e uma teoria possivel e se for ela pode ter muitas aplicacoes na Fisica

  74. Qualquer nome says:

    essa definição … dela”. Não, bando de animais … geometria EUCLIDIANA … onde o quinto postulado não possui nem prova de que é real (por isso é um axioma…)…
    Bom, não entendo muito sobre isso. Mas na geometria euclidiana duas retas paralelas nunca vão se encontrar, no caso, a geometria hiperbólica é uma geometria não-euclidiano, portanto não possui o quinto postulado, logo nada impede de existir retas paralelas que se cruzam.
    Quanto ao Ulysses deixemos ele de lado, pois se você não quer aprender nada que você não vai usar na vida, sua vida certamente será tediosa.
    E uma demonstração usando limites … isso fica de certo modo estranho, pois limite você vai aproximar o quanto você quer, mas não irá chegar a coincidir. Além de tudo, trabalhar com o infinito é muito complicado e algo que eu não entendo no momento….

  75. CT says:

    Muito interesse, pena que está errado

  76. Lucas Rodrigues says:

    Mano, tenho uma linha paralela e uma linha que segue reta, porém ela não é paralela, quando elas se encontrarão?

    Ilustração: ______________________________
    __________
    \___________________

  77. César says:

    Até que ponto uma linha reta deixa de ser uma linha reta? bem , isso depende muito do referencial. vamos pegar um alinhamento de calçadas nas ruas e imaginar que estão sempre alinhadas, por exemplo a calçada do lado direito e a do lado esquerdo, e imagine que elas são tão extensas que dê a volta no planeta, imagine que isso seja possível, se vc começar a seguir por essas calçadas, elas nunca se tocarão, mas elas se cruzarão , apesar de ser muito abstrato, vemos ver do ponto de vista da pessoa que anda nessa rua e ele vÊ a linha reta nunca deixou de ser linha reta, mas do ponto de vista espacial, essas calcçadas na verdade são circulares em volta da terra. e indo mais Einstein provou que o universo é curvo e que as linhas se deformam no espaço, bem, isso é verdade, mas se respeitar o teorema da linha reta, ela é reta sempre e tbm quebra as regras das deformações do espaço mas isso vai depender do ponto de vista. (I) vc imagina uma linha reta que quebra as barreiras do espaço ou (II) Uma linha reta que sofre as deformações do espaço? ao meu ver o caso I é o caso do postulado euclidiano , e portanto mais genuino. no caso II , ao meu ver apenas mostra que o espaço é curvo, mas se é curvo, cabe a vc decidir se a linha reta vai respeitar a curva do espaço, ou vai ser “incurvavel”.Eintein só provou que o espaço é curvo , mas não quer dizer que todas as linha retas vão se encontrar. A teroria de Newton e Leibniz envolvendo integral fica mais dificil de imaginar, já que o conceito de infinito fica fdificil de padronizar, até por que , dificil de imaginar uma linha reta tocando no infinito, e se o infinito for curvo, não quer dizer que a linha reta vá respeitar essa curva do infinito, por que aí já deixa de ser linha paralelas. já pensando em outro paradoxo, lembrando o de Fermi, se nós estamos no planeta, e o planeta está no espaço, e o espaço é todo universo compreendido, me diga, onde está todo o espaço? louco não?!

  78. Alice says:

    Kkkkkkkk não entendi nada…Sinistro esse papo!!!! Cs são de outro planeta :))))))

  79. Olá.

    Essa demonstração demonstra o que opticamente podemos observar. Já parou em um trilho de trem e observou que parece que os trilhos se encostam lá “no final”? É exatamente o que está sendo mostrado com essa demonstração não formal. Simplesmente que sua distância tende a zero quando olhamos seu comportamento quando seu tempo tende a infinito. Igual foi dito aí, demonstra praticamente uma ilusão de ótica, igual praticamente qualquer outra demonstração que usa limites.

  80. Natanael says:

    Olá Pedro, querendo ou não, temos um paradoxo. O infinito é algo que nunca termina ou se atinge. Logo dizer que as retas se encontram no infinito é o mesmo que dizer que elas nunca se encontram. Algo que nunca se encontra, se encontra?
    É o mesmo que dizer que 90º = 89,99999….
    Matematicamente é simples demonstrar que essa igualdade é verdadeira, mas na prática, duas retas com 90º nunca se tocarão, pois um observador que caminhasse para qualquer ponto entre 0 e infinito verá sempre a mesma distância entre as retas. Reflita sobre isso e verá que nossa mente não pode compreender isso.
    Olhando sob outro ponto de vista, o número 89,999…não existe, assim como todas as dízimas periódicas não podem existir. Tente dividir um chocolate em 3 partes iguais, você verá que é impossível, pois não haveria energia no universo para permitir acertar o corte no ponto exato (seria preciso subdividir o átomo em infinitas partes até se encontrar o ponto exato do corte, o que torna essa ação impossível). Logo as razões 1/3, 1/9, etc. Não podem existir no nosso universo. Ainda assim utilizamos elas para efetuar contas dentro do nosso universo.
    Isso levanta uma questão: coisas que não existem podem interagir entre si para gerar coisas que existem. Vide o caso dos números complexos.
    Isso seria mais um paradoxo lógico.
    Nossa lógica parece não ser tão perfeita assim…afinal precisamos ignorá-la para poder obter resultados reais.
    No entanto, um mesmo matemático que se vale dessas premissas utiliza a premissa de que Deus não existe por problemas lógicos. Um matemático aceita que 1 – 0,9999… é igual a zero porque o resultado dessa subtração é o número 0,0000…1 (onde 1 está depois do infinito). Ou seja, ele afirma que o infinito não pode ser atingido e portanto a subtração nunca pode ser realizada a fim de se obter o resultado 0,00000…1 (o número 1 nunca aparece).
    Porém, ao dizer que Deus não pode ser onipotente (pois não pode criar alguém ou algo maior que si mesmo), a premissa utilizada é a mesma da subtração 1 – 0,999… É como dizer que depois do infinito existe algo. Se o infinito não pode ser atingido, faz sentido chegar lá para procurar algo maior?
    Com esse comentário gostaria apenas de estimular seu pensamento para o fato de que vemos paradoxos todos os dias e os aceitamos por produzirem resultados reais e concretos, enquanto descartamos outras conjecturas por serem paradoxais, sem procurar saber se elas produzem ou não resultados reais para nós. Abraços

  81. Lucas says:

    Eu só concordo se vc conseguir resolver um sistema com duas equações de reta que sejam paralelas entre si. Caso contrário, toda essa abstração não prova nada.

  82. batoré says:

    As paralelas se encontram no inferno

  83. Vinicius says:

    Uma propriedade das retas paralelas é que estas possem distância constante entre si. Portanto, elas NUNCA se cruzam. Limites possuem erros, aproximações.

  84. Alan says:

    Só há duas possíveis soluções para esse enigma.
    1ª) Por ilusão de ótica, ou seja, quando duas retas seguindo em direção ao infinito nos dá a sensação de encontro, ao ponto de que em determinada distancia viram uma só, depois viram um ponto e depois somem no infinito.

    2ª) Por encontro com outras retas paralelas, ou seja, duas retas paralelas que seguem em direção ao infinito com certeza irão de encontro com outras infinitas retas paralelas que também estão seguindo em direção ao infinito.

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